Opgaver - 1998

Opgave 1

På den viste figur har de små cirkler radius 1.

Beregn arealet af det skraverede.

Opgave 2

For ethvert reelt tal m har ligningen

x²+(m-2)x-(m+3)=0

to løsninger, som betegnes x₁ og x₂.

Bestem m, således at x₁²+x₂² er mindst mulig.

Opgave 3

På tre parallelle linier med afstande som angivet på figuren ligger punkterne A, B og C, således at firkant ABCD er et kvadrat.

Find arealet af dette kvadrat.

Opgave 4

Lad a og b være positive reelle tal med a+b=1.

Vis, at

$\begin{displaymath} \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq\frac{25}{2} \end{displaymath}$

Opgave 5

En nydelig frugtanretning på et stort rundt fad er kantet med jordbær. Der er brugt mellem 100 og 200 bær til denne kant. Et lækkersultent barn spiser først et af jordbærrene og begynder derpå at gå rundt og rundt om fadet, idet hun spiser jordbær på følgende måde: når hun har spist et bær, lader hun det næste ligge, derefter spiser hun det næste, lader det næste ligge, osv. Således fortsætter hun, indtil der kun er et eneste jordbær tilbage. Dette bær er det, der lå lige efter det allerførste, hun spiste.

Hvor mange bær lå der oprindelig?