Opgaver - 1993

Opgave 1

Tre kammerater A, B og C har tilsammen 120 kr. Først giver A lige så mange penge til B, som B har i forvejen. Dernæst giver B lige så mange penge til C, som C har i forvejen. Til sidst giver C lige så mange penge til A, som A nu har. Efter disse transaktioner har A, B og C lige mange penge. Hvor mange penge havde hver af de tre kammerater oprindelig?

Opgave 2

Et rektangulært stykke papir har sidelængderne 12 og 15. Et hjørne bukkes om som vist på figuren. Bestem arealet af den skraverede trekant.

Opgave 3

Bestem samtlige løsninger (x,y) til ligningssystemet

$\begin{align*} x^2+y^2 &= 1 \\ x^6+y^6 &= \frac{7}{16} \end{align*}$

Opgave 4

I trekant ABC afskærer punkterne D, E og F en tredjedel af de respektive sider. Vis, at summen af arealerne af de tre skraverede trekanter er lig med arealet af midtertrekanten.

Opgave 5

I en papkasse ligger et stort antal løse sokker. Nogle af sokkerne er røde; de øvrige er blå. Det oplyses, at det samlede antal sokker ikke overstiger 1993. Endvidere oplyses det, at sandsynligheden for at trække to sokker af samme farve, når man på tilfældig måde udtrækker to sokker fra kassen er $\frac{1}{2}$ . Hvad er efter de foreliggende oplysninger det største antal røde sokker, der kan befinde sig i kassen?