Opgaver - 1992

Opgave 1

En mand i en robåd befinder sig i punktet A i 2 kilometers afstand fra en retlinet kyststrækning. Ved først at ro ind til et punkt P og derefter spadsere langs med kysten når han frem til punktet B, som ligger i en afstand 5 kilometer fra C, der er punktete på kysten nærmest A. Mandens ro-hastighed er 3 km i timen og hans spadsere-hastighed er 5 km i timen. Afgør, hvor P skal placeres mellem C og B, så at manden på kortest mulig tid kommer fra A til B.

Opgave 2

I en retvinklet trekant betegner a og b længderne af de to kateter. En cirkel med radius r har centrum på hypotenusen og rører begge kateter. Vis, at

$\begin{displaymath} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{r} \end{displaymath}$

Opgave 3

Lad x og y være positive tal med x+y = 1. Vis, at

$\begin{displaymath} (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y}) \geq 9 \end{displaymath}$

Opgave 4

Lad a, b og c betegne sidelængderne og m_a, m_b og m_c medianernes længder i en vilkårlig trekant. Vis, at

$\begin{displaymath} \frac{3}{4} < \frac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c} < 1 \end{displaymath}$

Vis endvidere, at der ikke findes noget snævrere interval, der for enhver trekant indeholder størrelsen

$\begin{displaymath} \frac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c} \end{displaymath}$

Opgave 5

I en hat ligger 1992 sedler med alle numre fra 1 til 1992. På tilfældig måde trækkes to sedler samtidig fra hatten; differencen mellem tallene på de to sedler skrives på en ny seddel, som lægges i hatten mens de to udtrukne sedler kastes bort. Der fortsættes på denne måde indtil der kun er en seddel tilbage i hatten.

Vis, at der på denne seddel står et lige tal.