Opgaver - 1991

Opgave 1

Beskriv mængden af de punkter P(x,y), som har dobbelt så stor afstand til A(3,0) som til O(0,0).

Opgave 2

Bevis at for $0<x<\frac{\pi}{2}$, gælder, at sin x + tan x > 2x.

Opgave 3

En retvinklet trekant har omkreds 60, og højden på hypotenusen har længde 12. Bestem sidernes længder.

Opgave 4

Lad a, b, c og d være vilkårlige reelle tal. Bevis, at hvis a2 + b2 + c2 + d2 = ab+bc+cd+da, så er a=b=c=d.

Opgave 5

Vis, at uanset hvordan 15 punkter afsættes inden for en cirkel med radius 2 (cirkelranden medregnet), vil der eksistere en cirkel med radius 1 (cirkelranden medregnet), som indeholder mindst 3 af de 15 punkter.