Løsninger - 1999

Opgave 1

Koordinatsættet for centrum C er på formen (0,c). Lad P(x₀, x_o²) betegne det ene røringspunkt. Da radius står vinkelret på tangenten i røringspunktetm er produktet af hældningskoefficienten (x₀² - c)/x₀ for CP og hældningskoefficienten 2x₀ for tangenten lig med -1, hvoraf $x_0^2 - c = -\frac{1}{2}$ . Da P ligger på cirklen, er x₀² + (x₀²-c)² = 49 og dermed $(c-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})^2 = 49$ . Så er $c=49\frac{1}{4}$ og det søgte koordinatsæt $(0,49\frac{1}{4}$ .

Opgave 2

De tre letteste udgør 5/13 af 65%, dvs. 25% af hele fangsten. De mellemste fisk udgør dermed 40%. I mellemgruppen må der følgelig være mindst 4 fisk (da de tre tungeste kun vejer 35% tilsammen). På den anden side kan der heller ikke være mere end 4 fisk i mellemgruppen: Hver mellemfisk vejer jo nemlig mindst så meget som gennemsnittet af de tre letteste fisk, altså mindst $\frac{1}{3}\cdot 25\% = 8\frac{1}{3}\%$ , og 5 mellemfisk ville dermed tilsammen veje over 40%. Altså er der præcis 4 fisk i mellemgruppen, og dermed i alt 3+4+3 = 10 fisk

Opgave 3

Af f(x) + xf(x) = x fås ved at erstatte x med 1-x og efterfølgende multiplikation med x ligningen xf(1-x) + x(1-x)f(x) = x(1-x). Subtraheres denne ligning fra den oprindelige, fås f(x) - x(1-x)f(x) = x - x(1-x), dvs. (1-x-x²)f(x) = x². Altså er

$\begin{displaymath} f(x) = \frac{x^2}{x^2 - x + 1},\quad\text{x\in \mathbb {R} }\end{displaymath}$

(Bemærk, at $x^2 - x + 1 \neq 0$ for alle x, da diskriminanten er negativ).

Ved indsættelse fås f(2) = 4/3.

(Uden brug af forskriften kunne f(2) f.eks. bestemmes således: Indsæt henholdsvis x=2 og x=-1 i den givne ligning; herved fremkommer to ligninger med to ubekendte f(2) og f(-1); ved løsning af ligningssystemet fås f(2) = 4/3.

Opgave 4

Når pigerne igen kan se hinanden, har Sofie bevæget sig xm fra S₁ til S₂ og Nanna 3xm fra N₁ til N₂ (se figur). Ved betragtning af de ensvinklede trekanter N₁TN₂, S₁TS₂ og ATB fås |TS₁|=100 og |AB| = 2x. Videre er åbenbart trekant CSB ensvinklet med trekant S₁TS₂ med sidestørrelsforholdet 1:2. (da |SC| = 50 og |S₁T|=100). Heraf fås $\vert SB\vert=\frac{1}{2}\vert TS_2$ , dvs.

$\begin{displaymath} 2x-50 = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 100^2} \Leftrightarrow 4x^2... ...tarrow \frac{15}{4}x^2 = 200x \Leftrightarrow x=\frac{160}{3}.\end{displaymath}$

Sofie har altså bevæget sig $53\frac{1}{3}$ m. Derfor er der gået $53\frac{1}{3}$ sekunder.

Opgave 5

Betragtes mindst 2000 forskellige tal bestående af lutter 1-taller, vil to af disse give samme rest ved division med 1999 (da der jo højst kan forekomme 1999 forskellige rester ved division med 1999), dvs. deres differens er delelig med 1999. Denne differens har formen $11 ... 1\cdot10^n$ , og da 1999 ikke har fælles faktorer med 10ⁿ, går 1999 op i det foranstillede tal. Hermed er det ønskede vist.