Løsninger - 1998

Opgave 1

Radius i den store cirkel er åbenbart $1+\sqrt{2}$ (se figuren).

Det søgte areal er dermed

$\begin{displaymath} \pi\left(1+\sqrt{2}\right)^2 - 4\pi 1^2 = \pi\left(1+2+2\sqrt{2}\right)-4\pi = \left(2\sqrt{2}-1\right)\pi \end{displaymath}$

Opgave 2

Ved brug af x₁+x₂ = -(m-2) g x₁x₂ = -(m+3) finder vi ${x_1}^2 + {x_2}^2 = \left(x_1+x_2\right)^2 - 2x_1x_2 = \left(m-2\right)^2 + 2(m+3) = m^2 - 2m + 10$ . Dette er et andengradspolynomium i m, som antager sin mindste værdi for m=1.

Opgave 3

De to retvinklede trekanter ABP og BCQ (se figuren) er kongruente. De er nemlig ensvinklede (idet $\angle QBC + 90^\circ + \angle PBA = 180^\circ$ ), og de har begge kvadratets sidelængde s som hypotenuse. Altså er |AP| = |BQ| = 7. Med brug af Pythagoras findes det ønskede areal s² som s² = 5² + 7² = 74

Opgave 4

Bemærk først, at når (a,b) opfylder de givne betingelser, ligger punktet (a,b) i første kvadrant og på linien med ligningen x+y = 1, og punktet $\left(-\frac{1}{a},-\frac{1}{b}\right)$ ligger på venstre gren afhyperblen med ligningen

$\begin{displaymath} y = -1+\frac{1}{x+1} \end{displaymath}$

idet $-\frac{1}{b} = \frac{1}{a-1} = \frac{\frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}} = -1+\frac{1}{-\frac{1}{a} + 1}$ .

Det er geometrisk klart, at den korteste afstand mellem et punkt på linien og et punkt på denne kurve er afstanden $d=\frac{5}{2}\sqrt{2}$ mellem $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ og (-2,-2). For afstanden mellem vilkårlige punkter (a,b) og $\left(-\frac{1}{a}, -\frac{1}{b}\right)$ gælder derfor

$\begin{displaymath} \sqrt{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2} \geq \frac{5}{2} \sqrt{2} \end{displaymath}$

og dermed $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}$ som ønsket.

Opgave 5

Vi nummererer bærrene fra til n (der var således oprindelig n+1 bær) og noterer at bær nr. 0 spises, samt at bær nr. 1 overspringes hver gang. I første tur rundt om fadet må det sidste bær blive spist (for vi ved jo, at det næste, nemlig bær nr. 1, ikke bliver spist). Altså må n være et lige tal. Efter første tur resterer $\frac{n}{2}$ bær. I anden runde må det sidste af de $\frac{n}{2}$ bær blive spist (fordi det næste, bær nr. 1, ikke bliver spist). Altså må $\frac{n}{2}$ være et lige tal. Efter anden tur resterer $\frac{n}{2^2}$ bær. Således fortsættes. Efter den k'te tur resterer $\frac{n}{2^k}$ bær. Efter sidste tur er $\frac{n}{2^k} = 1$ . Altså er n af formen 2^k. Da samtidig $100\leq n+1 \leq 200$ , må det oprindelige antal bær være n+1 = 2⁷ + 1 = 129.