Løsninger - 1997

Opgave 1

Ved optælling fra venstre ses, at tallene fra 1 til 9 bidrager med 9 cifre, tallene fra 10 til 99 med 2 $\cdot$ 90 = 180 cifre, tallene fra 100 til 199 med 3 $\cdot$ 100 cifre osv. Da 1997 = 1800 + 197 = 9 + 180 + 6 $\cdot$ 300 + 8, fås det 1997. ciffer 8 pladser efter 699: $... 6997007017\underline{0}2 ...$ . Det er altså et 0.

Opgave 2

Ved indtegning af de viste hjælpelinier deles kvadratet åbenbart i 4 kongruente dele. Det prikkede område har derfor arealet $\frac{1}{4}$ .

Opgave 3

I den retvinklede trekant ABC' er |AC|=3. Så er $\sin v=3/5$ , hvor $v=\angle ABC'$ . Da også $\angle EC'D =v$ (fordi $\angle EC'D +\angle AC'B=90^{\circ}$ ), giver sinusrelationen i trekant EC'D, at

$\begin{displaymath} \sin E = \frac{10}{6} \cdot \sin v = \frac{10}{6}\cdot \frac{3}{5} = 1 \end{displaymath}$

Altså er $\angle E = 90^{\circ}$

Opgave 4

Da xy + 3y = y(x+3) og x²+2x=(x+3)(x-1)+3 kan ligningen x²+2x-xy-3y = 1997 omskrives til (x+3)(x-1)-y(x+3)=1994 og dermed til

(x+3)(x-1-y)=1994

Da de eneste faktoriseringer af tallet 1994 er 1994 $\cdot$ 1 og 997 $\cdot$ 2, fås (idet x+3 er den største af faktorerne)

$\begin{displaymath} (x+3=1994 \wedge x-1-y=1) \vee (x+3=997 \wedge x-1-y=2) \end{displaymath}$

som giver løsningssættene (x,y)=(1991,1989) og (x,y)=(994,991).

Opgave 5

Lad x og y betegne antallet af brikker af henholdsvis type (a) og type (b). Brikkerne kan dække et 7 $\times$ 7 kvadrat forsynet med krydser som vist. Da hver brik på grund af sin facon højst kan dække ét kryds, må der være mindst 16 brikker, dvs.

$\begin{displaymath} (1)\quad x+y\geq 16 \end{displaymath}$

Ialt dækker brikkerne 49 felter, dvs.

$\begin{displaymath} (2)\quad 3x+4y=49 \end{displaymath}$

Ved kombination af (1) og (2) ses, at

$\begin{displaymath} y=(3x+4y)-3(x+y)\leq 49-48 = 1 \end{displaymath}$

Da $y\not= 0$ (klart ud fra (2)), fås y=1 som ønsket.