Løsninger - 1994

Opgave 1

V.h.a. trigonometri eller ved at benytte medianernes delingsforhold ses, at højden i den ligesidede trekant er 9 cm. Glassets samlede højde er altså 18 cm.

Opgave 2

Kaldes farten (målt i km/time) for v, strækningen (målt i km) for s og tiden (målt i timer) for t, får vi følgende tre relationer:

$\begin{displaymath} s=tv,\\ gt s=(t-\frac{2}{3})(v+10),\\ gt s=(t+1)(v-10) \end{displaymath}$

Med brug af den første omskrives de to sidste til

$\begin{displaymath} 10t-\frac{2}{3} v - \frac{2}{3} \cdot 10 = 0\\ gt \hbox{ og }\\ gt -10t+v-10 =0 \end{displaymath}$

Opgave 3

Polynomiet Q(x)=1+2x-3x²- 5x³ opfylder det ønskede. For $x \not= 0$ gælder nemlig $P(x)=x^3 Q(\frac{1}{x})$ og dermed $Q(\frac{1}{r})=0$ for hver af rødderne r=a, r=b og r=c i P(x). (Alternativt kan man benytte polynomiet $(x-\frac{1}{a})(x-\frac{1}{b})(x-\frac{1}{c})$ , hvis koefficienter kan bestemmes ved at udnytte P(x)= (x-a)(x-b)(x-c).)

Opgave 4

Kaldes den ukendte katete a og hypotenusen c, gælder

1994²=c²-a²= (c-a)(c+a)

Bemærk at tallene c+a og c-a begge er lige (da deres produkt er lige, er nemlig mindst et af dem lige, og da differensen er lige, må det andet også være det). Ved division med 2² fås

$\begin{displaymath} 997^2 = \frac{c-a}{2} \cdot \frac{c+a}{2} \end{displaymath}$

hvor faktorerne på højre side er hele og forskellige. Da 997 er et primtal, er $1 \cdot 997^2$ den eneste mulige opspaltning som et produkt af den ønskede art. Vi får altså

$\begin{displaymath} \frac{1}{2}(c-a) = 1 \hbox{ og } \frac{1}{2}(c+a) = 997^2 \end{displaymath}$

hvoraf ved addition c=1+997²= 1+(1000-3)²=994010.

Opgave 5

Ved deling afskæres en trekant med arealet $\frac{1}{4}$ . Hvis trekanten indeholder en af de oprindelige vinkler på $45^{\circ}$ , og dens sider kaldes p og q, gælder $\frac{1}{2}pq\sin (45^{\circ}) = \frac{1}{4}$ , hvoraf $2pq = \sqrt{2}$ . Med cosinusrelationen fås nu

$\begin{displaymath} d^2=p^2+q^2-2pq\sin(45^{\circ}) = p^2+q^2 - 1 = (p-q)^2 + 2pq-1 = (p-q)^2 + \sqrt{2} - 1 \end{displaymath}$

Dette er mindst for p=q. Den afklippede trekant skal altså være ligebenet, og længden af det delende liniestykke bliver

$\begin{displaymath} d=\sqrt{\sqrt{2}-1} \end{displaymath}$

(Hvis den afskårne trekant indeholder den rette vinkel, kan man på tilsvarende måde vise, at den bedst mulige placering giver en ligebenet trekant, men her bliver det delende liniestykkes længde 1, dvs. større end i det ovenstående tilfælde.)