Løsninger - 1993

Opgave 1

Oprindelig har A, B og C henholdsvis a, b og c kr. Fordelingen (a,b,c) ændres først til (a-b,2b,c), dernæst til (a-b,2b-c,2c) og sluttelig til (2(a-b),2b-c,2c-(a-b)) = (40,40,40). Dette giver a-b=20 og herefter i rækkefølge $c=\frac{1}{2}(40 +(a-b))=30$ , $b=\frac{1}{2}(40+c)=35$ og a=b+20=55.

Opgave 2

Med figurens betegnelser gælder |FC| =|DC|=15. Iflg. Pythagoras udregnes |FB|=6, og dermed bliver |AF|=6. Da trekanterne EFA og FCB er ensvinklede med størrelsesforholdet 6:12=1:2, er $\vert EF\vert=\frac{1}{2} \cdot 15$ Det søgte areal bliver da $\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot 15 =56 \frac{1}{4}$

Opgave 3

Ved indsættelse af y²=1-x² i den nederste ligning fås $x^6+(1-x^2)^3 = \frac{7}{16}$ , som kan omskrives til $x^4-x^2+\frac{3}{16}=0$ . Heraf findes $x^2=\frac{1}{4}$ eller $x^2=\frac{3}{4}$ , hvortil svarer henholdsvis $y^2=\frac{3}{4}$ og $y^2=\frac{1}{4}$ . Dermed fås ialt 8 løsninger:

$\begin{displaymath} (\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{1}{2}, \pm \... ...2}, \pm \frac{1}{2}), (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \pm \frac{1}{2}) \end{displaymath}$

Opgave 4

Lad T₁, T₂, T₃, T_M og T betegne arealerne af henholdsvis hver af de skraverede trekanter, midtertrekanten og hele trekant ABC. Betragt nu trekanterne ABE, BCF og CAD. Hver af disse har et areal på en trediedel af hele trekantens areal. Da trekanterne delvis overlapper hinanden, bliver arealet af deres foreningsmængde

$\begin{displaymath} 3 \cdot \frac{1}{3} T - (T_1+T_2+T_3) = T-(T_1+T_2+T_3) \end{displaymath}$

På den anden side har den nævnte foreningsmængde naturligvis arealet T-T_M. Altså fås T_M=T₁+T₂+T₃ som ønsket.

Opgave 5

Med n betegnes det samlede antal sokker, med r antallet af røde sokker. Den opgivne betingelse vedrørende sandsynligheden er ensbetydende med, at sandsynligheden for at trække to sokker af forskellig farve er $\frac{1}{2}$ , altså med at

$\begin{displaymath} \frac{r(n-r)}{K(n,2)} = \frac{1}{2}(\ast) \end{displaymath}$

Ved udregning findes, at relationen $(\ast)$ mellem n og r er ensbetydende med

4r²-4nr+(n²-n)=0

som videre giver

$\begin{displaymath} r=\frac{n \pm \sqrt{n}}{2} \end{displaymath}$

Den størst mulige værdi for r er da åbenbart givet ved

$\begin{displaymath} r=\frac{n_0 \pm \sqrt{n_0}}{2}, n_0 \leq 1993, n_0 \hbox{ kvadrattal}, n_0 \hbox{ st{\o}rst mulig} \end{displaymath}$

Ved udregning ses, at $44^2 \leq 1993 < 45^2$ . Altså er n₀=44, og dermed fås $r=\frac{1}{2}(44^2+44)=990$ .