Løsninger - 1992

Opgave 1

Vi sætter |CP|=x. Så er |PB|=5-x og $\vert AP\vert=\sqrt{x^2+4}$ . Den samlede turs varighed er

$\begin{displaymath} f(x)=\frac{\sqrt{x^2+4}}{3} + \frac{5-x}{5} \end{displaymath}$

Ved undersøgelse af nulpunkter og fortegn for

$\begin{displaymath} f'(x)=\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}-\frac{1}{5}= \frac{5x-3\sqrt{x^2+4}}{15\sqrt{x^2+4}} \end{displaymath}$

findes, at f har minimum for $x=\frac{3}{2}$ . Punktet P skal altså placeres 1,5 km fra C.

Opgave 2

Ved betragtning af arealer ses, at $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}rb + \frac{1}{2}ra$ , dvs. ab=r(b+a). Ved division med abr fås

$\begin{displaymath} \frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\end{displaymath}$

som ønsket.

Opgave 3

Med brug af x+y=1 to gange undervejs finder vi, at

$\begin{displaymath} (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y}) \geq 9 \Leftrightarrow (x+1)(y+1) \geq 9xy \Leftrightarrow 1+xy+(x+y) \geq 9xy \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Leftrightarrow xy \leq \frac{1}{4} \Leftrightarrow x(1-x) \leq \frac{1}{4} \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2 \geq 0 \end{displaymath}$

Heraf følger påstanden.

Opgave 4

Ved betragtning af trekant BMC fås:

$\begin{displaymath} a < \frac{2}{3} m_b + \frac{2}{3} m_c \end{displaymath}$

Tilsvarende fås for trekant AMC og trekant AMB

$\begin{displaymath} b < \frac{2}{3} m_a + \frac{2}{3} m_c \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} c < \frac{2}{3} m_a + \frac{2}{3} m_b \end{displaymath}$

Ved addition fås

$\begin{displaymath} a+b+c < \frac{4}{3}m_a + \frac{4}{3}m_b + \frac{4}{3}m_c \end{displaymath}$

og dermed

$\begin{displaymath} \frac{3}{4} < \frac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c} \end{displaymath}$

Betragtes ''den dobbelte figur'', fås 2m_b<a+c, 2m_a<b+c og 2m_c<a+b, som ved addition giver

2(m_a+m_b+ m_c)<2(a+b+c)

hvoraf

$\begin{displaymath} \frac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c} <1 \end{displaymath}$

For at indse, at uligheden ikke kan skærpes, betragtes de ligebenede trekanter ABC og DEF.

Hvis $\angle A \rightarrow 0^{\circ}$ , vil summen af siderne nærme sig 2a, og summen af medianerne vil nærme sig $a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a=2a$ , altså $s \rightarrow 1$ . Hvis $\angle D \rightarrow 180^{\circ}$ vil summen af siderne nærme sig a+a+2a=4a, mens summen af medianerne vil nærme sig $0+\frac{3}{2}a + \frac{3}{2}a=3a$ og dermed $s\rightarrow \frac{3}{4}$

Opgave 5

Trækkes to lige numre, er differensen d lige, og antallet af ulige numre ændres derfor ikke. Trækkes et lige og et ulige nummer, er d ulige; igen vil antallet af ulige numre være uændret. Trækkes to ulige numre, er d lige; antallet af ulige numre reduceres altså med to. Antallet af ulige numre kan således kun ændres ved et fald på to. Ved starten er der et lige antal ulige numre. Der kan således aldrig blive netop ét ulige nummer tilbage. Derfor må der på den sidste seddel stå et lige nummer.